0.1f + 0.2f == 0.3f가 아닌 이유 정도는 알아야 읽기 수월할지도?
IEEE 754란?
IEEE 754는 부동소수점에 대한 표준이다.
저장 방식과 사칙연산, 예외 상황이나 각종 초월함수 등 다양한 작업에 대해 다룬다.
모든 곳에서 반드시 지켜지는 것은 아니다. 지키지 않을 수도 있다.
관련 몇 가지 TMI
개요
32비트 단정밀도 float은 부호 1비트/지수부 8비트/가수부 23비트를,
64비트 배정밀도 double은 지수부 11비트/가수부 52비트를 사용한다고 한다.
그래서 혹시 이걸로 왜 1.0f가 0x3F800000인지 설명할 수 있는 분?
부동소수점으로 정확히 어떻게 표현되는지 아는 것을 목표로 간단히 알아보자.
부호 비트
부호있는 정수(signed integer)는 맨 앞 1비트를 부호를 나타내는 데 사용한다.
마찬가지로 부동소수점에서도 맨 앞 1비트를 부호를 나타내는 데 사용한다.
하지만 일반적으로 2의 보수를 사용하는 부호 있는 정수와는 달리,
부동소수점은 1의 보수처럼 부호 비트가 1이라면 단순히 -를 붙여준다.
일부 경우에서 0.0f와 -0.0f가 다르게 취급되는 이유가 이것이다.
int32_t의 경우
•
0x00000000 = 0
•
0x80000000 = -2147483648
32비트 float의 경우
•
0x00000000 = 0.0f
•
0x80000000 = -0.0f
가수부
어떤 수를 과학적 기수법으로 나타내면 1.BBBeXX 또는 -1.BBBeXX 꼴이 된다.
•
여기서 부호는 부호 비트로 표현할 수 있고
•
1. 부분은 공통이므로 생략 (0과 NaN 등의 예외는 후술)
•
XX 부분이 지수부에, BBB 부분이 가수부에 들어가게 된다.
예를 들어 십진수 100.625를 이진수로 나타내면 1100100.101가 되고,
과학적 기수법으로 나타내면 1.100100101e6이 된다. (1.100100101 × 2^6)
가수부가 10비트인 16비트 반정밀도의 경우 가수부가 1001001010이 된다.
지수부 (간단히)
지수부가 5비트인 16비트 반정밀도의 경우 지수가 1이면 지수부가 10000이 된다.
•
같은 이치로 지수부가 8비트인 32비트 단정밀도 float의 경우 10000000이 된다.
위에서 예로 든 십진수 100.625의 경우, 1.BBBeXX의 XX 부분에 6이 들어간다.
그러므로 십진수 100.625를 16비트 반정밀도로 표현하면 지수부는 10101이 된다.
그래서 십진수 100.625가 16비트로 0101011001001010, 즉 0x5696이 되는 것이다.
•
부호 비트는 음수가 아니므로 0 - 1비트
•
지수부는 과학적 표기법으로 나타낼 때 지수가 6이므로 10101 - 5비트
•
가수부는 과학적 표기법으로 나타낼 때의 소수점인 1001001010 - 10비트
마찬가지로 32비트로는 010000101100100101000000000000000, 즉 0x42C94000
이렇게만 할 경우 문제점
위처럼 간단히 모든 수를 표현할 수 있다면 좋겠지만 해결해야 할 문제가 남았다.
0은 과학적 표기법으로 나타낼 때 1.BBBeXX 꼴이 되지 않아 0을 나타낼 수 없다.
그리고 큰 문제는 아니지만 지수부가 0이 되면 그보다 작은 수를 나타낼 수 없다.
그래서 지수부가 0인 경우 맨 앞이 1.이 아닌 0.으로 봐 두 문제를 모두 해결한다!
또 다른 문제점
... 그리고, NaN, infinity, -infinity
지수부의 모든 비트가 1인 경우는 특별한 수를 위해 예약되어 있다.
가수부가 0이면 infinity로 (부호 1비트가 1이면 -infinity), 아니면 NaN으로 본다.
내용이 달라도 0b0_11111_0101010101도 NaN이고 0b0_11111_111111111도 NaN이다.
정리
1.
IEEE 754는 부동소수점에 대한 표준이다.
2.
부동소수점은 부호 비트와 지수부, 가수부로 이루어진다.
3.
부호 비트가 0이면 양수, 1이면 음수
4.
비트의 지수부가 , ~ 인 경우 지수는 , ~
a.
지수부가 0인 경우 과학적 표기법에서 맨 앞 부분이 1.이 아닌 0.으로 시작
5.
가수부는 과학적 표기법으로 나타낼 때 소수점에 들어가는 부분
6.
지수부의 모든 비트가 1인데 가수부가 0이면 infinity (부호 비트에 따라 -infinity)
7.
지수부의 모든 비트가 1인데 가수부가 0이 아니면 NaN
부동소수점이 어떻게 저장되는지, 그리고 왜 그렇게 저장되는지까지 간단히 알아봤다. -끝-
