((벡터의) 분배법칙 성립) [주의할 점] VS3의 항등원은 모든 벡터 x 에 대해 항등원이 되는 0 벡터가 하나의 원소로서 벡터공간 내에 존재한다는 것이고 VS4의 역원은 각각의 벡터 x 마다 합하면 결과가 항등원 0벡터가 되는, 각각의 x에 대한 역원 y가 벡터공간 내에 존재한다는 뜻입니다. 이러한 벡터공간을 ‘

F

-벡터공간

V

’이라 표기한다. 여기서 소개된 체

F

의 원소를 스칼라 scalar 라고 하며, 벡터공간 자체는 벡터만으로 이루어져있기 때문에 2. Scalar Multiplication의 피연산자를 가져오기 위해, 벡터공간을 정의할 때 함께 정의해야 하는 집합이다.

체 (Field)란? : 집합, 벡터공간과 같은 대수구조, 덧셈과 곱셈이 잘 정의되어 있는 집합. 예시로는 실수 집합

\mathbb R

, 유리수 집합

\mathbb Q

등이 있음

\mathbb C

Theorem 정리 1.1 Cancellation law 벡터 합의 소거법칙

x,y,z∈Vx, y, z \in Vx,y,z∈V이고 x+z=y+zx + z = y + zx+z=y+z일때, x=yx = yx=y이다.

proof

VS4 : [각 x∈Vx \in Vx∈V마다 x+y=0x + y = 0x+y=0인 y∈Vy \in Vy∈V가 존재한다.] 에 의해
z+w=0z + w = 0z+w=0을 만족하는 www가 존재하고 w∈Vw \in Vw∈V이다.

양변에 www를 더하면, x+(z+w)=y+(z+w)x + (z + w) = y + (z + w) x+(z+w)=y+(z+w) 
벡터 합의 결합법칙 (associativity of vector addition) 

⇒ x+0=y+0x + 0 = y + 0x+0=y+0 
www 는 덧셈에 대한 zzz의 역벡터 (additive inverse)
⇒ x=yx = yx=y 
000 은 덧셈에 대한 항등원 (additive identity)이며, 영벡터 (zero vector) 라고 함

Corollary

1.1 의 따름정리 1

VS3 :  [모든 x∈Vx \in Vx∈V에 대하여 x+0=xx + 0 = xx+0=x 인 0∈V0 \in V0∈V이 존재한다.] 를 만족하는

벡터 0∈V0 \in V0∈V는 유일하다.

proof

x+0=x=x+0′x + 0 = x = x + 0'x+0=x=x+0′ 인 벡터 0,0′∈V0, 0' \in V0,0′∈V를 생각하자.  

바로 위의 Thm 1.1 (소거 법칙)에 의해
x+0=x+0′x + 0 = x + 0'x+0=x+0′ 이면 0=0′0 = 0'0=0′이다.

따라서 zero vector 0∈V0 \in V0∈V 은 유일하다.

1.1 의 따름정리 2

VS4 : [각 x∈Vx \in Vx∈V마다 x+y=0x + y = 0x+y=0인 y∈Vy \in Vy∈V가 존재한다.] 를 만족하는 

벡터 y∈Vy \in Vy∈V는 유일하다.

proof

x+y=0=x+y′x + y = 0 = x + y'x+y=0=x+y′ 인 벡터 y,y′∈Vy, y' \in Vy,y′∈V를 생각하자.

역시 Thm 1.1 에 의해
x+y=x+y′x + y = x + y'x+y=x+y′ 이면 y=y′y = y'y=y′ 이다.

따라서 임의의 v∈Vv \in Vv∈V에 대한 additive inverse −v∈V-v\in V−v∈V 은 유일하다. 

Theorem

정리 1.2 스칼라 곱의 기본 성질

1. 모든 벡터 xxx에 대하여 0x=00x = 00x=0이다. (주의 : 좌변의 000은 FFF의 원소이고, 우변의 000은 VV
V의 원소이다.)

2. 모든 스칼라 aaa와 모든 벡터 xxx에 대하여 (−a)x=−(ax)=a(−x)(-a)x = -(ax) = a(-x)(−a)x=−(ax)=a(−x)이다.

3. 모든 스칼라 aa
a에 대하여 a0=0a0 = 0a0=0이다. (양변의 000 은 모두 VVV의 원소)

proof

1. 모든 벡터 xxx에 대하여 0x=00x = 00x=0이다.

VS8 [모든 a,b∈Fa, b \in Fa,b∈F 와 모든 x∈Vx \in Vx∈V에 대하여 (a+b)x=ax+bx(a + b)x = ax + bx(a+b)x=ax+bx 이다.] 에 의해
또,  0∈F0 \in F0∈F 에 대해 0 + 0 = 0 이므로
0x=(0+0)x=0x+0x0x = (0 + 0) x = 0x + 0x0x=(0+0)x=0x+0x
⇒ 0x=0x+0x0x = 0x + 0x0x=0x+0x
VS4 [각 x∈Vx \in Vx∈V마다 x+y=0x + y = 0x+y=0인 y∈Vy \in Vy∈V가 존재한다.] 에 의해 0x+v=00x + v = 00x+v=0 인 v∈Vv \in Vv∈V가 존재하며
(0x+v)=0x+(0x+v)(0x + v) = 0x + (0x +v)(0x+v)=0x+(0x+v) 
⇒ 0=0x+00 = 0x + 00=0x+0 
⇒ 0=0x0 = 0x0=0x

증명의 흐름을 위해 3. 모든 스칼라 aa
a에 대하여 a0=0a0 = 0a0=0이다. 부터 증명한다.
VS7 [모든 a∈Fa \in Fa∈F와 모든 x,y∈Vx, y \in Vx,y∈V에 대하여 a(x+y)=ax+aya(x+y)=ax+aya(x+y)=ax+ay] 에 의해
a0+a0=a(0+0)=a0a0 + a0 = a(0+0) = a0a0+a0=a(0+0)=a0 이며 이는 즉 a0+a0=a0a0 + a0 = a0a0+a0=a0 이므로 역시 VS4에 의해 a0+v=0a0 + v = 0a0+v=0인 v∈Vv \in Vv∈V 존재하고
a0+(a0+v)=(a0+v)a0 + (a0 + v) = (a0 + v)a0+(a0+v)=(a0+v)
⇒ a0+0=0a0 + 0 = 0a0+0=0
⇒ a0=0a0 = 0a0=0

2. 모든 스칼라 aaa와 모든 벡터 xxx에 대하여 (−a)x=−(ax)=a(−x)(-a)x = -(ax) = a(-x)(−a)x=−(ax)=a(−x)이다.

여기서는 증명의 의미를 환기할 필요가 있다. -
−a-a −a 는 FFF 내에서의 aa a의 덧셈에 관한 역원 a+(−a)=0(∈F)=(−a)+aa + (-a) = 0 (\in F) = (-a) + aa+(−a)=0(∈F)=(−a)+a 이며
−x-x−x 는 VVV내에서의 xxx의 덧셈에 관한 역원 x+(−x)=0(∈V)=(−x)+xx + (-x) = 0 (\in V) = (-x) + xx+(−x)=0(∈V)=(−x)+x 이고,
−ax-ax−ax 는 VVV 내에서의 axaxax의 덧셈에 관한 역원 ax+(−ax)=0(∈V)=(−ax)+axax + (-ax) = 0(\in V) = (-ax) + axax+(−ax)=0(∈V)=(−ax)+ax 임을 의미한다.
그러므로 이하는, Thm 1.2.2 에서의 세 표기 모두 동일한 것임을 보이는 과정이다. 

우선, 좌변 (−a)x=−(ax)(-a)x = -(ax)(−a)x=−(ax) 부터 증명하자. 역시 VS8 에 의해 
0x=(a+(−a))x=ax+(−a)x0x =(a + (-a)) x = ax + (-a)x 0x=(a+(−a))x=ax+(−a)x 이고, 바로 위의 Thm 1.2.1 에 의해
0=ax+(−a)x0 = ax + (-a)x0=ax+(−a)x 이며, Thm 1.1의 따름정리 2에 의해
(−a)x=−(ax)(-a)x = -(ax)(−a)x=−(ax)임을 알 수 있다.

다음, 우변 −(ax)=a(−x)-(ax) = a(-x)−(ax)=a(−x) 임을 보인다. VS7 에 의해

ax+a(−x)=a(x+(−x))=a0ax + a(-x) = a(x + (-x))  = a0ax+a(−x)=a(x+(−x))=a0 이며 바로 위에서 보인 Thm 1.2.3 에 의해
ax+a(−x)=0ax + a(-x) = 0 ax+a(−x)=0 이며, Thm 1.1의 따름정리 2에 의해
−(ax)=a(−x)-(ax) = a(-x)−(ax)=a(−x)임을 알 수 있다.


따라서, (−a)x=−(ax)=a(−x)(-a)x = -(ax) = a(-x)(−a)x=−(ax)=a(−x) 이며, 우리는 세 표현을 모두 동일한 것으로 여길 수 있다.

“집합 S가 벡터공간임을 보여라”

→ 집합 내의 원소들에 대해 합과 스칼라 곱이 잘 닫혀있고, 성질 1~8을 모두 만족하는지 전부 확인하라는 뜻.

“집합 S가 벡터공간이 아님을 보여라” → 위의 조건들 중 성립 안하는거 하나만 찾으면 된다.

Subspace 부분공간

Definition

F

-벡터공간

V

의 부분집합

W

에 대해,

W

가

V

에서 정의한 1. 합 과 2. 스칼라 곱을 가진

F

-벡터공간일 때,

W

는

V

의 부분공간 (subspace)라고 한다. 그리고 이 경우에,

W \leq V

라고 표기 가능하다.

모든 벡터공간 VVV에 대하여 VVV 자체와, zero vector 만 존재하는 집합 {0}\{0\}{0}는 부분공간이다.

근데 공집합 ∅\emptyset∅은 벡터공간이 아닙니다! ⇒ (VS3) 덧셈에 대한 항등원이 없어요

W\subseteq V

인

F

-벡터공간

V

의 부분집합

W

가 부분공간이 되려면

W

가 위에서 서술한 VS1 ~ VS8을 만족하는지 전부 확인해야 하는가? ⇒ 다행히? 2가지만 확인하면 된다. 1. 모든

x, y \in W

에 대하여

x+y\in W

이다. ⇒

W

는 덧셈에 대하여 닫혀있다. 2. 모든

c\in F

와 모든

x\in W

에 대하여

cx\in W

이다. ⇒

W

는 스칼라 곱에 대하여 닫혀있다. 사실 다른 조건도 있기는 한데, 1, 2를 만족하면 따라서 성립하는 조건이기 때문에, 그냥 덧셈과 스칼라곱에 대해 닫혀있는지만 확인하면 된다. (3)

W

는 zero 벡터를 포함한다. (4)

W

에 속한 모든 벡터의 additive inverse는

W

의 원소이다.

Theorem

정리 1.3

벡터공간 VVV와 부분집합 WWW를 생각하자. WWW가 VVV의 부분공간이기 위한 필요충분조건은, 다음 세 가지 조건을 만족하는 것이다. 이때, 연산은 VVV에서 정의된 것과 같다.

0∈W0 \in W0∈W

모든 x,y∈Wx, y \in Wx,y∈W에 대하여 x+y∈Wx+y\in Wx+y∈W이다.

모든 c∈Fc\in Fc∈F와 모든 x∈Wx\in Wx∈W에 대하여 cx∈Wcx\in Wcx∈W이다.

proof

0∈W0 \in W0∈W 라는 말의 의미는, WWW에서 덧셈에 대한 항등원 역할을 하는 zero vector가 VVV의 zero vector와 같은 것이어야 한다는 뜻이다.

VVV의 zero vector가 000 이고, WWW의 zero vector가 0′0'0′이라고 하자. 그러면
x∈Wx\in Wx∈W에 대해 x+0′=xx + 0' = xx+0′=x가 성립한다. 한편, x∈Vx\in Vx∈V이므로, x+0=xx+0=xx+0=x 또한 성립한다.
x+0′=x=x+0x + 0' = x = x + 0x+0′=x=x+0이므로 Thm 1.1에 의해 0=0′0 = 0'0=0′이다.

필요충분조건(⇔\Leftrightarrow⇔)임을 보이는 방법은 양 방향으로 충분조건임을 만족하는지 확인하면 된다.

(⇒\Rightarrow⇒)
W≤VW \leq VW≤V일때, WWW는 VS1 ~ VS8 모두를 만족하므로 0∈W0 \in W0∈W 이며(VS 3), 덧셈과 스칼라 곱에 대해서 닫혀있다.

(⇐\Leftarrow⇐)
W⊆VW\sube VW⊆V인 WWW가 0∈W0\in W0∈W 이며, 덧셈과 스칼라 곱에 대해서 닫혀있는 경우

WWW의 덧셈과 스칼라곱이 VVV와 같기 때문에 벡터공간의 성질을 만족하므로, 닫혀있기만 하면 VS1 ~ VS8을 모두 만족한다.
[ x,y∈Wx,y \in Wx,y∈W 에 대해 당연히 x+y∈Vx+y\in Vx+y∈V이지만(W⊆VW\sube VW⊆V 이므로), 닫혀있지 않다면 x+y∉Wx + y\notin Wx+y∈/W 일수도 있는데, 닫혀있다면 이런 경우가 발생하지 않는다는 뜻]

정리 1.4

벡터공간 VVV의 부분공간들의 임의의 교집합은 VVV의 부분공간이다. ⇒ W1∩W2...∩Wn≤VW_1 \cap W_2 ...\cap W_n \leq VW1​∩W2​...∩Wn​≤V 

 ⋂i∈IWi≤V(I≠∅) \bigcap_{i\in I}W_i \leq V \quad (I \neq \empty)⋂i∈I​Wi​≤V(I=∅)  (⇒ 같은 표현입니당ㅎ)

proof

W=W1∩W2∩...∩Wn=⋂i∈IWi≤V(I≠∅) W= W_1 \cap W_2 \cap ... \cap W_n =  \bigcap_{i\in I}W_i \leq V \quad (I \neq \empty)W=W1​∩W2​∩...∩Wn​=⋂i∈I​Wi​≤V(I=∅)

0∈Vi∈I0\in V_{i\in I}0∈Vi∈I​ 이므로 확인
x,y∈Wx, y \in Wx,y∈W 이면 x,y∈Wi∈Ix, y \in W_{i\in I}x,y∈Wi∈I​ 이고 Wi∈IW_{i\in I}Wi∈I​는 벡터공간이므로 x+y∈Wi∈Ix+y\in W_{i \in I}x+y∈Wi∈I​ 이다. 따라서 확인
c∈F,x∈Wc \in F, x\in Wc∈F,x∈W 이면 x∈Wi∈Ix\in W_{i\in I}x∈Wi∈I​ 이고 Wi∈IW_{i \in I}Wi∈I​는 벡터공간이므로 cx∈Wi∈Icx \in W_{i\in I}cx∈Wi∈I​이다. 따라서 확인.

엇! 그러면 부분공간들의 합집합도 부분공간이 되나요? 안됩니다ㅜ

W_1 = \{(x,0)\}

(x축),

W_2 = \{(0,y)\}

(y축) 인 부분공간

W_1, W_2 \le \mathbb R^2

를 생각해 봅시다.

W_1 \cup W_2 = \{(x,0), (0,y)\}

(+ 모양의 x축과 y축의 합집합)은 덧셈에 닫혀있지 않습니다.

(1,0)\in W_1, (0,1)\in W_2

에 대해

(1,0) + (0,1) = (1,1) \notin W_1\cup W_2

물론, 되는 경우가 있기는 한데, 한 부분공간이 다른 부분공간에 포함되는 경우입니다.

그러면.. 서로 다른 부분공간

W_1, W_2

가 주어질 때, 두 부분공간을 결합하여 둘 모두를 포함하는 더 큰 부분공간을 만드는 방법은 없는걸까요! ⇒ 그게바로, ‘합공간’ 개념입니다.

Direct Sum 직합

Definition

공집합이 아닌 S1S_1S1​과 S2S_2S2​는 벡터공간 VVV의 부분집합이다. 

[합공간의 정의]
두 집합의 합(sum) S1+S2S_1 + S_2S1​+S2​은 다음과 같이 정의한다.
{집합끼리의 합은 원래는 정의되어있지 않지만, 한번 만들어 봅시다.}
{x+y ∣ x∈S1,y∈S2}\{ x + y\ |\ x\in S_1, y\in S_2\}{x+y ∣ x∈S1​,y∈S2​}
 

[부분공간의 합공간은 벡터공간이 될까?]

{x+y ∣ x∈W1,y∈W2}=W\{x+y\ |\ x \in W_1, y\in W_2\} = W{x+y ∣ x∈W1​,y∈W2​}=W

1)0+0=0∈W1)\quad0+0=0 \in W1)0+0=0∈W
2)(x+y)+(x∈W1′+y∈W2′)=(x+x′)+(y+y′)=x∈W1′′+y∈W2′′∈W2)\quad (x + y) + (x'_{\in W_1}+y'_{\in W_2}) = (x+x') + (y+y') = x''_{\in W_1} + y''_{\in W_2} \in W2)(x+y)+(x∈W1​′​+y∈W2​′​)=(x+x′)+(y+y′)=x∈W1​′′​+y∈W2​′′​∈W
3)c(x+y)=cx∈W1+cy∈W2∈W3)\quad c(x+y) = cx_{\in W_1} + cy_{\in W_2} \in W3)c(x+y)=cx∈W1​​+cy∈W2​​∈W

위와 같이, 부분공간이 벡터공간이 되기위한 조건 3가지를 모두 만족함을 알 수 있다.

[직합의 정의] 벡터공간

V

와 그 부분공간

W_1,W_2

에 대하여

W_1\cap W_2 = \{0\}

이고,

W_1+W_2=V

인 경우

V

는

W_1

와

W_2

의 직합(direct sum) 이라 하고

V=W_1\oplus W_2

라 표기한다.

Theorem

벡터공간 VVV의 부분공간 W1,W2W_1, W_2W1​,W2​로 이루어진 합공간 W1+W2=VW_1 + W_2 = VW1​+W2​=V 일때

다음 두 명제는 동치이다.
1) W1∩W2={0}W_1 \cap W_2 = \{0\}W1​∩W2​={0}
2) 모든 v∈V v \in Vv∈V에 대해, v=w1+w2(s.t. w1∈W1,w2∈W2)v=w_1+w_2\quad (s.t.\ w_1\in W_1, w_2\in W_2)v=w1​+w2​(s.t. w1​∈W1​,w2​∈W2​)로 표현할 수 있는 방법은 유일하다.

proof

1)  W1∩W2={0}→v=w1+w2 (∃!w1,w2)W_1\cap W_2 =\{0\}\quad\rightarrow\quad v= w_1 +w_2\ (\exists! w_1, w_2)W1​∩W2​={0}→v=w1​+w2​ (∃!w1​,w2​) 

w1+w2=v=w1′+w2′w_1 + w_2 = v = w_1'+w_2'w1​+w2​=v=w1′​+w2′​ 이라고 하자, w1+w2=w1′+w2′w_1 + w_2 = w_1' + w_2'w1​+w2​=w1′​+w2′​ 이므로 

w1−w1′=w2′−w2w_1-w_1' = w_2'-w_2w1​−w1′​=w2′​−w2​ 이다.  w1,w1′∈W1w_1, w_1' \in W_1 w1​,w1′​∈W1​ 이고 w2,w2′∈W2w_2,w_2' \in W_2w2​,w2′​∈W2​ 이므로 w1−w1′∈W1,w2′−w2∈W2w_1-w_1'\in W_1,\quad w_2'-w_2 \in W_2w1​−w1′​∈W1​,w2′​−w2​∈W2​ 이다.
그런데 W1∩W2={0}W_1 \cap W_2 = \{0\}W1​∩W2​={0} 이므로 
w1−w1′=0,  w2′−w2=0w_1-w_1' = 0,\ \ w_2'-w_2 = 0w1​−w1′​=0,  w2′​−w2​=0 이다. 따라서 w1=w1′, w2=w2′w_1= w_1',\  w_2=w_2'w1​=w1′​, w2​=w2′​ 으로 vvv는 유일하게 표현된다. 

————————————————————————————————————————————————————
2) v=w1+w2 (∃!w1,w2)→W1∩W2={0}v= w_1 +w_2\ (\exists! w_1, w_2) \quad\rightarrow \quad W_1\cap W_2 =\{0\}
v=w1​+w2​ (∃!w1​,w2​)→W1​∩W2​={0}

w∈W1∩W2w\in W_1\cap W_2w∈W1​∩W2​인 www에 대해 v=(w1−w)∈W1+(w2+w)∈W2v = (w_1 - w)_{\in W_1} + (w_2 + w)_{\in W_2}v=(w1​−w)∈W1​​+(w2​+w)∈W2​​ 로 표현 가능하다. 
그런데 w1,w2w_1, w_2w1​,w2​가 유일하다면 w1=w1−w,  w2=w2+ww_1 = w_1-w,\ \ w_2=w_2+w w1​=w1​−w,  w2​=w2​+w이어야 하므로 w=0w = 0w=0 이다.

따라서 W1∩W2={0}W_1 \cap W_2 = \{0\}W1​∩W2​={0}이다.

벡터공간

V

의 부분공간

W_{i\in I} = W_1, W_2, ... W_n

에 대하여

W_S \le W_{\forall i\in I}

이고,

W_{\forall i\in I} \le W_L

을 만족하는

V

의 부분공간

W_S

와

W_L

를 생각하자.

\{0\} \le W_S \le \bigcap_{\forall i\in I}{W_i} = W_1\cap W_2\cap...\ \cap W_n

이고.

W_1+W_2+...+W_n = (\sum_{\forall i\in I}W_i) \le W_L

를 만족한다. 즉,

W_S

의 상한은 부분공간들의 교집합이고,

W_L

의 하한은 부분공간들의 합공간이 된다.

Linear Combination 일차 결합

Definition

Linear Combination 일차 결합

VVV는 벡터공간이고, SSS는 VVV의 공집합이 아닌 부분집합이라 하자.

유한개의 벡터 u1,u2,...,un∈Su_1, u_2, ... , u_n\in Su1​,u2​,...,un​∈S와 스칼라 a1,a2,...,ana_1, a_2,..., a_na1​,a2​,...,an​에 대하여 다음을 만족하는  벡터 v∈Vv\in Vv∈V를
‘SSS의 Linear Combination 일차 결합’ 이라고 한다.

v=a1u1+a2u2+...+anun=∑i=1naiuiv=a_1u_1 + a_2u_2 + ... +a_nu_n = \sum_{i=1}^na_iu_iv=a1​u1​+a2​u2​+...+an​un​=∑i=1n​ai​ui​ 

span & generate

span : 집합에 대한 1항 연산, 집합을 집합으로 대응시키는 연산

벡터공간 VVV의 공집합이 아닌 부분집합 SSS를 생각하자. SSS의 생성공간(span)은 SSS의 벡터를 사용하여 만든 모든 일차결합의 집합이며, span(S)\bold{span}(S)span(S), 간단히 ⟨S⟩\langle S\rangle⟨S⟩라고도 표현한다.
⇒ span은 집합에 대한 1항 연산, 유한 개의 원소로 이루어진 집합을 ⇒ 하나의 벡터공간(벡터공간 역시 집합이니까)으로 만드는 연산

편의를 위해 span(∅)=⟨∅⟩={0}\bold{span}(\emptyset) = \langle \empty\rangle=\{0\}span(∅)=⟨∅⟩={0}으로 정의한다.

S={vi}⊂VS=\{v_i\}\sub VS={vi​}⊂V,    ⟨S⟩={ ∑civi }\langle S\rangle = \{\ \sum{c_iv_i}\ \}⟨S⟩={ ∑ci​vi​ } [‘The’ set of Linear Combination]

The Span of SSS

(당연히) ⟨S⟩\langle S\rangle⟨S⟩는 M.A와 S.M에 대해 닫혀있고
SSS 를 포함하는 가장 최소한의 벡터공간이 된다.

ex) R3\mathbb R^3R3에서 집합 {(1,0,0), (0,1,0)}의 생성공간은 a(1,0,0)+b(0,1,0)=(a,b,0)a(1,0,0) + b(0,1,0)=(a,b,0)a(1,0,0)+b(0,1,0)=(a,b,0)형태의 벡터로 이루어진 집합이다. (a,ba,ba,b는 스칼라) 이 생성공간은 xyxyxy평면이고, R3\mathbb R^3R3의 부분공간이다.

Theorem

정리 1.5

벡터공간 VVV의 임의의 부분집합 SSS의 생성공간은 SSS를 포함하는 (VVV의) 부분공간이다.
또한 SSS를 포함하는 VVV의 부분공간은 반드시 SSS의 생성공간을 포함한다.

뭔가 너무 당연해보이지만.. 그걸 명백히 밝히는게 증명이니깐! 해봅시닷

proof

1) S⊂span(S)1)\ S\sub\bold{span}(S)1) S⊂span(S)
2) span(S)≤W≤Vs.t. S⊂V2)\  \bold{span}(S)\leq W\leq V\quad s.t.\ S\sub V2) span(S)≤W≤Vs.t. S⊂V

1) S⊂span(S)1)\ S\sub\bold{span}(S)1) S⊂span(S)

⇒ 너무 자명하지만, v∈Sv\in Sv∈S일 때 v=1⋅v∈span(S)v=1\cdot v\in\bold{span}(S)v=1⋅v∈span(S)이므로 span(S)\bold{span}(S)span(S)는 SSS를 포함한다.
집합론적으로, ∀x∈A⇒x∈B\forall  x\in A \Rightarrow x\in B∀x∈A⇒x∈B가 성립하면 A⊆BA\sube BA⊆B 라고 한다. (둘은 필요충분조건이다.)

2) span(S)≤W≤Vs.t. S⊂V2)\  \bold{span}(S)\leq W\leq V\quad s.t.\ S\sub V2) span(S)≤W≤Vs.t. S⊂V

⟨S⟩\langle S\rangle ⟨S⟩ 가 VVV의 부분공간이라는 말에는 2가지 요점이 있다.
1) ⟨S⟩\langle S\rangle⟨S⟩가 VVV에 여전히 포함되어 있다는 점, 2) ⟨S⟩\langle S \rangle⟨S⟩가 스스로 벡터공간이라는 점. 이 두 조건을 살펴보자.

i).    S=∅S = \emptysetS=∅인 경우,  span(∅)={0}\bold {span}(\empty)=\{0\}span(∅)={0}이다. {0}\{0\}{0}은 S=∅S=\emptyS=∅을 포함하고, (∅⊂{0}\empty \sub \{0\}∅⊂{0}),  2) VVV의 모든 부분공간에 포함되며, 스스로 벡터공간이 된다.

ii).    S≠∅S\neq\emptyS=∅인 경우

1) ⟨S⟩⊂V1)\ \langle S\rangle \sub V1) ⟨S⟩⊂V인가? 
⇒  S={vi∈I}⊂VS=\{v_{i\in I}\} \sub VS={vi∈I​}⊂V인 SSS에 대하여,  ⟨S⟩={ ∑civi }\langle S\rangle = \{\ \sum{c_iv_i}\ \}⟨S⟩={ ∑ci​vi​ } 이다.
VVV는 벡터공간이므로, 임의의 v1,v2,..vn∈Vv_1, v_2, ..v_n\in Vv1​,v2​,..vn​∈V에 대한 선형결합 (선형 결합은 결국, 덧셈과 상수배의 결과이므로)에 대해 닫혀있다.
즉,  vi∈I∈V⇒∑i∈Icivi∈Vv_{i\in I}\in V \Rightarrow\sum_{i\in I}{c_iv_i} \in Vvi∈I​∈V⇒∑i∈I​ci​vi​∈V ⇒ 따라서 ⟨S⟩⊂V\langle S\rangle \sub V⟨S⟩⊂V이다.  

벡터공간 VVV의 부분집합 WWW가 VVV의 부분공간으로서 인정받기 위한 3가지 조건!
1. 영벡터를 포함
2. 덧셈에 대해 닫혀있음
3. 상수배에 대해 닫혀있음

확인해보자.

1. 영벡터를 포함
v∈Sv\in Sv∈S에 대해 0v=0∈⟨S⟩0v=0\in\langle S\rangle0v=0∈⟨S⟩이다. (O)

2. 덧셈에 대해 닫혀있음
x,y∈span(S)x,y\in\bold{span}(S)x,y∈span(S)에 대하여, 다음 등식을 만족하는 벡터 u1,u2,...,um,v1,v2,...,vn∈Su_1,u_2,...,u_m,\quad v_1,v_2,...,v_n\in Su1​,u2​,...,um​,v1​,v2​,...,vn​∈S와  {ui},{vi}⊂S\{u_i\},\{v_i\}\sub S{ui​},{vi​}⊂S
스칼라 a1,a2,...,am,b1,b2,...,bna_1,a_2,...,a_m,\quad b_1,b_2,...,b_na1​,a2​,...,am​,b1​,b2​,...,bn​이 존재한다.

x=a1u1+a2u2+...+amumy=b1v1+b2v2+...+bvvnx=a_1u_1+a_2u_2+...+a_mu_m\newline y= b_1v_1+b_2v_2+...+b_vv_nx=a1​u1​+a2​u2​+...+am​um​y=b1​v1​+b2​v2​+...+bv​vn​ 이때

x+y=a1u1+a2u2+...+amum+b1v1+b2v2+...+bnvnx+y=a_1u_1+a_2u_2+...+a_mu_m+b_1v_1+b_2v_2+...+b_nv_nx+y=a1​u1​+a2​u2​+...+am​um​+b1​v1​+b2​v2​+...+bn​vn​와
cx=(ca1)u1+(ca2)u2+...+(cam)umcx=(ca_1)u_1+(ca_2)u_2+...+(ca_m)u_mcx=(ca1​)u1​+(ca2​)u2​+...+(cam​)um​은 명백히 SSS의 일차결합이다. 즉, x+y, cx∈span(S)x+y,\ cx\in \bold{span}(S)x+y, cx∈span(S)이다. 따라서 span(S)\bold{span}(S)span(S)는 VVV의 부분공간이다.


같은 논리로, VVV 대신 더 작은 WWW가 SSS를 포함한다고 하면, 다음과 같이 생각할 수 있는것이다.

W≤Vs.t. S⊂W⇒span(S)⊂WW\leq V\quad s.t.\ S\sub W \Rightarrow \bold{span}(S)\sub WW≤Vs.t. S⊂W⇒span(S)⊂W

w∈span(S)w\in\bold{span}(S)w∈span(S)이면 w1,w2,...,wk∈Sw_1,w_2,...,w_k\in Sw1​,w2​,...,wk​∈S와 스칼라 c1,c2,...,ckc_1,c_2,...,c_kc1​,c2​,...,ck​에 대하여 www는 다음과 같이 쓸 수 있다.
w=c1w1+c2w2+...+ckwkw=c_1w_1+c_2w_2+...+c_kw_kw=c1​w1​+c2​w2​+...+ck​wk​

S⊆WS \sube WS⊆W이므로 w1,w2,...,wk∈Ww_1,w_2,...,w_k\in Ww1​,w2​,...,wk​∈W이다. 
w=c1w1+c2w2+...+ckwk∈Ww=c_1w_1+c_2w_2+...+c_kw_k\in Ww=c1​w1​+c2​w2​+...+ck​wk​∈W이다. www는 span(S)\bold{span}(S)span(S)에서 임의로 꺼낸 벡터이므로 span(S)⊆W\bold{span}(S)\sube Wspan(S)⊆W이다.

벡터공간 VVV의 부분집합 SSS에 대하여 span(S)=V\bold{span}(S) = Vspan(S)=V이면 
SSS는 VVV를 생성(generate 또는 span)한다.

이 경우, SSS의 벡터가 VVV를 생성한다고 말하기도 한다.

⟨{(1,0),(0,1)}⟩=R2\langle\{(1,0), (0,1)\}\rangle = \mathbb R^2⟨{(1,0),(0,1)}⟩=R2

{(1,0),(0,1)}\{(1,0), (0,1)\}{(1,0),(0,1)} generates R2\mathbb R^2R2 (생성한다)

{{(1,0),(0,1)}\{(1,0), (0,1)\}{(1,0),(0,1)} is ‘a’ generating set of R2\mathbb R^2R2 (생성집합)
⇒ generator

’a’ 인 이유
서로 다른 부분집합도 같은 부분공간 WWW를 생성할 수 있다. 그렇다면 WWW를 생성하는, 가능하면 가장 작은 (WWW의) 부분집합은 무엇일까? 다음 절에서 생성집합에서 불필요한 벡터를 제외하여 더 작은 생성집합을 얻는 방법을 공부할 것이다. 

⇒ 뭐가 되든지 상관은 없다. 그러면 정말 아무거나 가져와도 되는걸까? 조건은?

span (S) 는 S를 포함하는 부분공간 중 가장 최소한이 됩니다. 증명하실 수 있으신가요?

다음 내용은 벡터공간의 나머지 이야기가 될 것입니다

[선형대수학] Vector Space 벡터공간 (2)

일차 독립과 종속, 기저와 차원, 대체정리 및 그 따름정리들